Liczby pierwsze to ciekawe fakty. Liczby pierwsze w przyrodzie i ich wykorzystanie przez ludzi

Liczby pierwsze i złożone. Kryteria podzielności.

2014-02-01

Prywatny
dzielnik
wiele
Liczba parzysta
liczba nieparzysta
Liczba pierwsza
numer złożony
Podzielność przez 2
Podzielność przez 4
Podzielność przez 5
Podzielność przez 3 i 9

Jeśli $ a $ i $ b $ są liczbami naturalnymi, a
$ a = bq $,
gdzie $ q $ też jest Liczba naturalna, to mówią, że $ q $ -

iloraz dzielenia liczby $ a $ przez liczbę $ b $ i napisz: $ q = a / b $.

Powiedz również, że $ a $ jest podzielne przez $ b $ całkowicie lub bez reszty.

Dowolna liczba $ b $, przez którą $ a $ jest podzielna bez reszty, nazywana jest dzielnikiem liczby $ a $

Samo

liczba $ a $, ale w odniesieniu do jej dzielnika nazywana jest wielokrotnością

Zatem liczby będące wielokrotnościami $ b $ są liczbami $ b, 2b, 3b, \ cdots $.

Liczby będące wielokrotnościami 2 (czyli podzielne przez 2 bez reszty) nazywane są parzystymi

Liczby niepodzielne przez 2 nazywane są nieparzystymi

Każda liczba naturalna jest parzysta lub nieparzysta.

Jeżeli każda z dwóch liczb $ a_ (1), a_ (2) $ jest wielokrotnością $ b $, to suma $ a_ (1) + a_ (2) $ jest wielokrotnością $ b $. Widać to z rekordu $ a_ (1) = bq_ (1), a_ (2) = bq_ (2); a_ (1) + a_ (2) = bq_ (1) + bq_ (2) = b (q_ (1) + q_ (2)) $.
I odwrotnie, jeśli $ a_ (1) $ i $ a_ (1) + a_ (2) $ są wielokrotnościami $ b $, to $ a_ (2) $ jest również wielokrotnością $ b $.

Każda liczba naturalna inna niż jeden ma co najmniej dwa dzielniki: jeden i samą siebie.

Jeśli liczba nie ma innych dzielników poza sobą i jedynką, nazywa się ją liczbą pierwszą

Liczba, która ma inny dzielnik niż ona sama, a jeden nazywa się złożony

Według numeru. Zwyczajowo nie przypisuje się jednostki ani liczbom pierwszym, ani złożonym. Oto kilka pierwszych liczb pierwszych, zapisanych w porządku rosnącym:
2,3,5,7,11,13,17 $, \ cdots $
Liczba 2 jest jedyną parzystą liczbą pierwszą; wszystkie inne liczby pierwsze są nieparzyste.

Fakt, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych, został ustalony już w starożytności (Euklides, III wiek p.n.e.).

Idea dowodu Euklidesa na nieskończoność zbioru liczb pierwszych jest dość prosta. Załóżmy, że istnieje tylko skończona liczba liczb pierwszych; wymieńmy je wszystkie, na przykład, w kolejności rosnącej:
2,3,5 $, \ cdots, p $. (1)
Utwórzmy liczbę równą ich iloczynowi plus jeden:
$ a = 2 \ cdot 3 \ cdot 5 \ cdots p + 1 $.
Oczywiście ta liczba nie jest podzielna przez żadną z liczb (1). Dlatego albo sam jest prosty, albo, jeśli jest złożony, ma dzielnik pierwszy inny niż liczby (1), co jest sprzeczne z założeniem, że wszystkie liczby pierwsze są wymienione w rekordzie (1).

Dowód ten jest bardzo interesujący, gdyż daje przykład dowodu twierdzenia o istnieniu (nieskończonego zbioru liczb pierwszych), który nie jest związany z rzeczywistym poszukiwaniem obiektów, których istnienie jest udowadniane.

Można pokazać, że dowolną liczbę złożoną można przedstawić jako iloczyn liczb pierwszych. Na przykład,
$1176 = 2 \ cdot 2 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 7 \ cdot 7 $ lub 1176 $ = 2 ^ (3) \ cdot 3 \ cdot 7 ^ (2) $.
Jak widać na tym przykładzie, przy faktoryzacji danej liczby na czynniki pierwsze, niektóre z nich mogą się powtarzać kilka razy.

W ogólnym przypadku pisząc rozkład liczby $ a $ na czynniki pierwsze
$ a = p ^ (k_ (1)) _ (1) p ^ (k_ (2)) _ (2) \ cdots p ^ (k_ (n)) _ (n) $ (2)
zakłada się, że wszystkie liczby pierwsze $ p_ (1), p_ (2), \ cdots, p_ (n) $ różnią się od siebie (ponadto $ p_ (1) $ jest powtarzane przez czynnik $ k_ (1) $ razy, $ p_ (2 ) $ jest powtarzane przez współczynnik $ k_ (2) $ razy itd.). Pod tym warunkiem można udowodnić, że rozkład jest unikalny aż do kolejności zapisywania czynników.

Przy rozkładaniu liczby na czynniki pierwsze warto skorzystać z kryteriów podzielności, które pozwalają stwierdzić, czy dana liczba jest podzielna przez inną liczbę bez reszty, bez wykonywania samego dzielenia. Wyprowadzimy kryteria podzielności dla liczb 2, 3, 4, 5, 9.

Podzielność przez 2. Te i tylko te liczby, w których ostatnia cyfra wyraża liczbę parzystą (0, 2, 4, 6 lub 8) są dzielone przez 2.

Dowód. Reprezentujmy liczbę $ \ overline (c_ (1) c_ (2) \ cdots c_ (m)) $ jako $ \ overline (c_ (1) c_ (2) \ cdots c_ (m)) = \ overline (c_ ( 1) c_ (2) \ cdots 0) + c_ (m) $.
Pierwszy wyraz po prawej jest podzielny przez 10, a więc parzysty; suma będzie parzysta wtedy i tylko wtedy, gdy $ c_ (m) $ jest liczbą parzystą.

Podzielność przez 4 Liczba $ \ overline (c_ (1) c_ (2) \ cdots c_ (m)) $ jest podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy dwucyfrowa liczba wyrażona przez dwie ostatnie cyfry jest podzielna przez 4.

Dowód. Reprezentujemy liczbę $ \ overline (c_ (1) c_ (2) \ cdots c_ (m)) $ as
$ \ overline (c_ (1) c_ (2) \ cdots c_ (m)) = \ overline (c_ (1) c_ (2) \ cdots 00) + \ overline (c_ (m-1) c_ (m)) $
Pierwszy wyraz jest podzielny przez 100, a jeszcze bardziej przez 4. Suma będzie podzielna przez 4 wtedy i tylko wtedy, gdy $ \ overline (c_ (m-1) c_ (m)) $ jest podzielna przez 4.

Podzielność przez 5. Te i tylko te liczby, których zapis kończy się cyfrą 0 lub cyfrą 5, są podzielne przez 5.

Podzielność przez 3 i 9. Liczba jest podzielna przez 3 (odpowiednio przez 9) wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr jest podzielna przez 3 (odpowiednio przez 9).

Dowód. Zapisujemy oczywiste równości
$10 = 9+1$,
$100 = 99 + 1$,
$1000 = 999+1$,
$ \ cdoty $,
dzięki czemu liczbę $ \ overline (c_ (1) c_ (2) \ cdots c_ (m)) $ można przedstawić jako
$ a_ (m) = c_ (1) (99 \ cdots 9 + 1) + \ cdots + c_ (m-1) (9 + 1) + c_ (m) $
lub
$ a_ (m) = c_ (1) \ cdot 99 \ cdots 9 + \ cdots + c_ (m-1) \ cdot 9 + (c_ (1) + c_ (2) + \ cdots + c_ (m-1) + c_ (m)) $.
Widać, że wszystkie terminy, z wyjątkiem być może ostatniego nawiasu, są podzielne przez 9 (a tym bardziej przez 3). Dlatego liczba ta jest podzielna przez 3 lub 9 wtedy i tylko wtedy, gdy suma jej cyfr $ c_ (1) + c_ (2) + \ cdots + c_ (m) $ jest podzielna przez 3 lub 9.

Różne problemy związane z liczbami pierwszymi były i pozostają do dziś ważne i interesujące dla matematyki, wiele z nich nie zostało jeszcze rozwiązanych, a ciekawe fakty z historia matematyki.

Tak więc w XVI-XVII wieku. matematycy zaczęli rozważać liczby w postaci 2$n-1$, a badając je pod kątem prostoty, w historii popełniono wiele błędów. Oczywiste jest, że jeśli n - numer złożony, to liczba ta jest również złożona: jeśli $ n = km $, to $ 2 ^ n-1 = (2 ^ k) ^ m-1 ^ m $ - jak różnicę stopni dzieli się przez różnicę podstaw, tj. nie jest proste i dlatego naturalne jest rozważanie tylko n.

Ale nawet dla liczby pierwszej n ta liczba może okazać się złożona: np. 2 11 = 2047 = 23 89, jest ona złożona zarówno dla n = 23 jak i n = 37, co ustalono Gospodarstwo rolne, po ponad 40 latach odkrył błąd w pracy innego badacza, który stwierdził, że dla n = 23, 29, 31, 37 liczba $ 2^ n-1 $ jest prosta, ale nie zauważył kolejnego błędu: dla n = 29 to też nie jest proste... I odkryłem to - około 100 lat później - Euler a także fakt, że dla n = 31 liczba ta jest naprawdę prosta.

W XVII wieku. numery postaci $ 2 ^ n-1 $ były badane przez francuskiego mnicha Maren Mersenne który prowadził pełna lista liczba pierwsza n od 2 do 257, dla której liczby te są liczbą pierwszą, w której przewidział powyższy wynik Eulera, ale lista ta zawierała również błędy, a jeden z nich został znaleziony dwa i pół wieku później, w 1883 roku, przez Rosjanina wiejski ksiądz-nauczyciel Iwan Micheewicz Pierwuszin... To wydarzenie jest oznaczone tablicą pamiątkową na jego domu na Trans-Uralu - w mieście Shadrinsk w regionie Kurgan. A błędnie wskazane przez Mersenne'a n = 67 i n = 257 zostały wyłączone z jego listy dopiero w XX wieku.

Oczywiście w nowoczesny świat za takie błędy mogliby złożyć pozew, a wtedy Mersenne potrzebowałby zastępstwa prawnego w sądzie od dobrego prawnika. Chociaż obecnie wiele osób może legalnie reprezentować swoje interesy w sądzie, tylko nieliczni to prawdziwi profesjonaliści. A francuskiego mnicha wcale to nie obchodzi!

liczby pierwsze postaci $ 2 ^ n-1 $ otrzymało nazwę Liczby Mersenne'a, a do tej pory matematycy nie znają oczywiście ani nieskończonego zbioru takich liczb, a w 1996 roku znaleziono trzydziestą piątą liczbę Mersenne'a - dla n = 1 398 629, a jest w niej około 400 tysięcy cyfr, w maju 15, 2004, trzydziesta szósta liczba, a komputerowi zajęło to kilka godzin. Oczywiste jest, że znalezienie tak ogromnej liczby bez korzystania z komputerów jest nie do pomyślenia. W historii matematyki jest inny incydent związany z liczbami pierwszymi, tzw. liczby Fermata - liczby w postaci $ 2 ^ (2 ^ n) + 1 $. Znowu jest jasne, dlaczego wykładnik k = 2 n ma tak pozornie szczególną postać, ale 2 n jest ogólną postacią liczby, która nie ma nieparzystych dzielników pierwszych, a jeśli ten wykładnik k ma taki dzielnik p, to liczba 2 n +1 nie jest prosta: jeśli k = pq, to 2 k + 1 = (2 q) p +1 p, a suma potęg nieparzystych jest podzielna przez sumę podstaw. Sam Fermat uważał, że wszystkie te liczby są pierwsze, ale Euler wykazał, że to stwierdzenie było błędne, znalazł dla niego kontrprzykład: $ 2 ^ (32) + 1 = 4 294 967 297 = 641 \ razy6 700 417 $.

A najbardziej zdumiewającego odkrycia związanego z liczbami Fermata dokonali wielcy matematyk Gauss, którego nazwę prawdopodobnie słyszeliście w związku z jego natychmiastowym obliczeniem sumy 1 + 2 + 3 +… + 100: okazuje się, że regularny n-kąt może być skonstruowany wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie nieparzyste dzielniki pierwsze n są liczbami Fermata . Dlatego w szczególności nie można skonstruować zwykłego 7-kąta za pomocą kompasu i linijki, ale można skonstruować 17-kąta: 17 $ = 2 ^ (2 ^ 2) + 1 $.

Fakty o liczbach. Są to liczby pierwsze i wiele innych. Niektóre liczby, takie jak Pi i wiele innych, wyciągnęliśmy w osobnych materiałach. Dlatego radzimy je również przeczytać. Tu jest kilka zabawne fakty na temat liczb, który na pewno Cię zainteresuje.

Fakty dotyczące liczb ujemnych

W naszych czasach liczby ujemne są znane wielu, ale nie zawsze tak było. Po raz pierwszy liczby ujemne zaczęły być używane w Chinach w III wieku, ale wolno było ich używać tylko w wyjątkowych przypadkach, ponieważ uważano je za nonsens. Nieco później w Indiach zaczęto używać liczb ujemnych do oznaczania długów.

Tak więc w pracy „Matematyka” w dziewięciu książkach, opublikowanych w 179 AD. Pne, podczas dynastii Han i skomentowany w 263 przez Liu Hui, w chińskim systemie liczenia patyczków czarne patyczki były używane do liczb ujemnych, a czerwone do dodatnich. Ponadto, aby wskazać liczby ujemne, Liu Hui używał ukośnych patyczków liczących.

Znak „-”, który jest obecnie używany do oznaczania liczb ujemnych, po raz pierwszy pojawił się w starożytnym manuskrypcie Bakhshali w Indiach, ale nie ma zgody wśród uczonych co do tego, kiedy został skompilowany, zakres niezgodności wynosi od 200 do 600 n.e. . NS.

Liczby ujemne były już znane w Indiach w 630 r. n.e. Pne Były używane przez matematyka Brahmaguptę (598-668).

Po raz pierwszy w Europie liczby ujemne zaczęły być używane około 275 roku naszej ery. Zostały wprowadzone do użytku przez greckiego matematyka Diophantusa z Aleksandrii, ale na Zachodzie uważano je za absurdalne do czasu ukazania się książki Ars Magna (Wielka Sztuka), napisanej w 1545 r. przez włoskiego matematyka Girolamo Cardano (1501-1576).

Fakty o liczbach pierwszych

Liczby 2 i 5 są jedynymi w serii liczb pierwszych, które kończą się na 2 i 5.

Inne fakty dotyczące liczb

Liczba 18 to jedyna liczba (oprócz 0), której suma cyfr jest 2 razy mniejsza od niej samej.

2520 to najmniejsza liczba, którą można równomiernie podzielić przez wszystkie liczby od 1 do 10.

Liczba „pięć” w języku tajskim wymawia się „ha”. Dlatego liczba składająca się z trzech piątek – 555, będzie wymawiana jak slangowe wyrażenie oznaczające ludzki śmiech – „ha, ha, ha”.

Wszyscy wiemy, że istnieją słowa palindromowe. To znaczy te, które można czytać od lewej do prawej i od prawej do lewej, a ich znaczenie się nie zmienia. Istnieją jednak również numery-palindromy (palindromony). Reprezentują lustrzane liczby, które będą czytelne i mają ta sama wartość w obu kierunkach, np. 1234321.

Słowo Googol (pochodzenie marki Google) oznacza liczbę 1, po której następuje 100 zer.

Jedyną liczbą, której nie można zapisać cyframi rzymskimi, jest „Zero”. Również we współczesnej matematyce zero ma pewne osobliwości swojej interpretacji. Tak więc w rosyjskiej matematyce nie jest to liczba liczb naturalnych, ale zagraniczna nauka tak.

Miejska budżetowa instytucja edukacyjna

miasto Abakanu

„Szkoła średnia nr 19”

Matematyka

Liczby pierwsze są proste

Łysowa

Elmiro,

Klasa 6 B

Kierownik:

Bykowskaja

Irina Siergiejewna,

nauczyciel matematyki

KOD _____________________________

Matematyka

LICZBY NAJWAŻNIEJSZE SĄ PROSTE

SPIS TREŚCI:

Wstęp

Rozdział 1 ... liczby pierwsze

1.1. Definicja liczby pierwszej.

1.2. Nieskończoność szeregu liczb pierwszych.

1.3. Największa liczba pierwsza.

1.4. Metody wyznaczania (przeszukiwania) liczb pierwszych.

Rozdział 2. Zastosowanie teorii liczb pierwszych

2.1. Przykłady niektórych stwierdzeń teorii liczb pierwszych znanych sowieckich naukowców.

2.2 Przykłady wielu problemów w teorii liczb pierwszych.

2.3. Zastosowane problemy (nr 1, nr 2)

2.4 Zadania dotyczące stosowania praw liczb pierwszych (№3 №, 4)

2.5. Magiczne kwadraty.

2.6.Zastosowanie prawa liczb pierwszych w różnych dziedzinach

Wniosek

Podanie

„W świecie panuje harmonia,

i ta harmonia jest wyrażona - w liczbach ”

Pitagoras.

WPROWADZANIE

Matematyka jest niesamowita. Rzeczywiście, czy ktoś kiedykolwiek widział na własne oczy liczbę (nie trzy drzewa czy trzy jabłka, ale samą liczbę 3). Z jednej strony liczba jest pojęciem całkowicie abstrakcyjnym. Ale z drugiej strony wszystko, co dzieje się na świecie, można zmierzyć w takim czy innym stopniu, co oznacza, że można to przedstawić w liczbach.

Na lekcjach matematyki, studiując temat „Liczby pierwsze i złożone”, interesowałem się liczbami pierwszymi, historią ich występowania i sposobami ich otrzymywania. Sięgnąłem do biblioteki, Internetu, gdzie kupiłem niezbędną literaturę. Po dokładnym przestudiowaniu zdałem sobie sprawę, że jest wiele interesujących informacji o liczbach pierwszych. Liczby pierwsze, które zostały wprowadzone około dwa i pół tysiąca lat temu, ale okazały się nieoczekiwane praktyczne użycie ostatnio. Dowiedziałem się, że istniejąPrawa liczb pierwszych wyrażone za pomocą wzoru, ale w teorii liczb jest wiele problemów.Pomimo tego, że teraz żyjemy w dobie komputerów i najnowocześniejszych programów informacyjnych, wiele zagadek liczb pierwszych nie zostało jeszcze rozwiązanych, są nawet takie, do których naukowcy nie wiedzą, jak podejść.Znajomość otwartych praw pozwala na tworzenie jakościowo nowych rozwiązań w wielu obszarach, interesujących zarówno naukowców, jak i zwykłych obywateli. Temat też mnie zainteresował.Obiekt badania są pojęciem czysto abstrakcyjnym -Liczba pierwsza . Podmiot badanie liczby pierwszej służyło: teorii liczb pierwszych, metodom ich przypisywania, ciekawym odkryciom w tej dziedzinie i ich zastosowaniu do celów praktycznych.

Cel moim zadaniem jest rozwinięcie pojęcia liczb pierwszych. Zidentyfikował następujące zadania:

zapoznać się z historią rozwoju teorii liczb pierwszych,

tworzą ogólny pomysł, jak znaleźć liczby pierwsze,

poznaj ciekawe osiągnięcia radzieckich naukowców w dziedzinie teorii liczb pierwszych,

rozważ niektóre problemy z teorii liczb pierwszych,

zapoznać się z zastosowaniem teorii liczb pierwszych w różnych dziedzinach,

zrozumieć zasadę wyodrębniania liczb pierwszych z naturalny zasięg metodą „Sita Eratostenesa” do 100; 1000,

przestudiuj użycie liczb pierwszych w problemach.

I. LICZBY PIERWSZE

Liczby pierwsze to jeden z cudów matematyków. Raz, dwa, trzy... Tymi słowami wkraczamy w krainę liczb, która nie ma granic. Pozornie płaskie, bliskie numery, przy bliższym ich poznaniu, wypalają nas swoim wewnętrznym żarem, nabierają głębi.

Znamy faktoring liczb z Szkoła Podstawowa... Szukając wspólnego mianownika, konieczne jest rozłożenie mianowników terminów na czynniki. Przy redukcji frakcji należy dokonać faktoringu. Jedno z głównych stwierdzeń arytmetyki mówi: każda liczba naturalna jest jednoznacznie rozłożona na czynniki pierwsze.

72 = 2x2x2x3x3

1001 = 7 x 11 x 13

Rozkład liczb na czynniki pierwsze pokazuje, że dowolna liczba jest albo liczbą pierwszą, albo iloczynem dwóch lub więcej liczb pierwszych. Można więc powiedzieć, że liczby pierwsze są elementami składowymi liczb naturalnych, jak cegiełki, z których, za pomocą mnożenia, składają się wszystkie liczby całkowite.

Liczba pierwsza to liczba naturalna, która ma tylko dwa różne dzielniki (samą liczbę i 1).

Kilka ciekawostek.

Numer 1 nie jest ani pierwszorzędny, ani złożony.

Jedyną liczbą parzystą, która należy do grupy „liczb pierwszych” jest licho. Każda inna liczba parzysta po prostu nie może tu trafić, ponieważ z definicji oprócz siebie i jedynki jest również podzielna przez dwa.

Liczby pierwsze nie pojawiają się losowo w naturalnym ciągu, jak mogłoby się wydawać na pierwszy rzut oka. Po ich dokładnym przeanalizowaniu można od razu zauważyć kilka cech, najciekawszychliczby - "bliźniaki" - liczby pierwsze, różnica między nimi wynosi 2.Nazywa się je tak, ponieważ znajdowały się obok siebie, oddzielone tylko liczbą parzystą (pięć i siedem, siedemnaście i dziewiętnaście). Jeśli przyjrzysz się im uważnie, zauważysz, że suma tych liczb jest zawsze wielokrotnością trzech. Pary bliźniąt ze wspólnym elementem tworzą pary liczb pierwszych - „bliźniaki” (trzy i pięć, pięć i siedem).

Od dawna uderza nieregularny rozkład liczb pierwszych wśród wszystkich liczb naturalnych. Zauważono, że w miarę jak przechodzimy od małej liczby do większej, liczby pierwsze są coraz rzadsze w szeregach naturalnych. Dlatego jedno z pierwszych pytań brzmiało: czy istnieje ostatnia liczba pierwsza, czyli czy seria liczb pierwszych ma koniec? Około 300 pne słynny starożytny grecki matematyk Euklides udzielił negatywnej odpowiedzi na to pytanie. Udowodnił, że za każdą liczbą pierwszą kryje się jeszcze większa liczba pierwsza, to znaczy, że istnieje nieskończona liczba liczb pierwszych.

Najstarszy znany dowód tego faktu został podany w „” (Księga IX, Stwierdzenie 20).

Wyobraźmy sobie, że liczba liczb pierwszych jest skończona. Pomnóżmy je i dodajmy jeden. Wynikowa liczba nie jest podzielna przez żadną ze skończonych liczb pierwszych, ponieważ reszta z dzielenia przez którąkolwiek z nich daje jeden. Oznacza to, że liczba musi być podzielna przez jakąś liczbę pierwszą, której nie ma w tym zestawie.

Nie można więc przyjąć, że szereg liczb pierwszych jest skończony: to założenie prowadzi do sprzeczności. Tak więc bez względu na to, jak długi ciąg ciągu liczb złożonych spotkamy w ciągu liczb naturalnych, możemy być przekonani, że stoi za nim nieskończenie większa liczba.

Inne dowody przedstawili matematycy.

1.3 Największa liczba pierwsza.

Jedną rzeczą jest upewnienie się, że istnieją jakieś duże liczby pierwsze, a inną rzeczą jest wiedzieć, które liczby są pierwsze. Im większa liczba naturalna, tym więcej obliczeń trzeba wykonać, aby dowiedzieć się, czy jest liczbą pierwszą, czy nie.

Od dawna prowadzone są zapisy oznaczające największe znane w tamtym czasie liczby pierwsze. Jeden z rekordów został ustanowiony w swoim czasie przez Eulera w XVIII wieku, znalazł liczbę pierwszą 2147483647.

Najbardziej znane proste numer rekordu od czerwca 2009 jest 2 do potęgi 43112609 - 1(otwierany Cooper z University of Central Missouri w USA). Zawiera 12 978 189 i jest prosty. Dzięki temu naukowcowi liczby pierwsze Mersenne'a od dawna utrzymują rekord jako największa znana liczba pierwsza. Do ich identyfikacji potrzeba było 75 potężnych komputerów.

Liczby takie jak: 2 do potęgi n minus 1 , gdzie n jest również liczbą pierwszą, odnoszą się do liczb Mersenne'a. Cooper dokonał nowego odkrycia matematycznego w 2013 roku. Udało mu się znaleźć najdłuższą liczbę pierwszą na świecie. Jest napisany w następujący sposób:2 do potęgi 57885161 - 1. Numer zawiera ponad 17 milionów cyfr. Aby wydrukować go na papierze, potrzebujesz ponad 13 tysięcy stron A4.
Nowy rekord w klasie Mersenne Prime jest teraz napisany jako2 do potęgi 57885161 - 1 , ma 17425170 cyfry. Otwarcie nowego rekordzisty przyniosło Cooperowi nagrodę pieniężną w wysokości 3 tys

Electronic Frontier Foundation obiecuje również przyznać 150 000 USD i 250 000 USD osobom, które przedstawią światu liczby pierwsze o 100 milionach i miliardach znaków.

a) Sito Eratostenesa.

Istnieje wiele sposobów znajdowania liczb pierwszych. Pierwszym, który zajął się problemem „wypisywania liczb pierwszych ze zbioru liczb naturalnych”, był wielki grecki matematyk starożytności Eratostenes, który żył prawie 2300 lat temu. Wymyślił taką metodę: zapisał wszystkie liczby od jedynki do pewnej liczby, a następnie wykreślił jedną, która nie jest ani liczbą pierwszą, ani złożoną, a następnie wykreślił wszystkie liczby po 2 (liczby będące wielokrotnościami dwóch, tj. 4,6,8 itd.). Pierwsza pozostała liczba po 2 to 3. Następnie, po dwóch, wszystkie liczby, które pojawiły się po trzech (liczby będące wielokrotnościami 3, tj. 6, 9, 12 itd.) zostały skreślone, na końcu tylko liczby pierwsze pozostały nieskreślone : 2, 3, 5, 7, 11, 13,….

W ten sposób Eratostenes wynalazł sposób, w jaki można wyeliminować wszystkie liczby pierwsze od 1 do określonej liczby, izolując wszystkie wielokrotności każdej liczby pierwszej. Ta metoda nazywa się „Sitem Eratostenesa”. to najłatwiejszy sposób na znalezienie początkowej listy liczb pierwszych do pewnej wartości.

Grecy robili notatki na tabliczkach pokrytych woskiem lub na papirusie, a liczb nie przekreślano, lecz nakłuwano igłą, wtedy tabliczka na końcu obliczeń przypominała sito.

Czy można rozpoznać liczbę pierwszą, jak mówią, na pierwszy rzut oka? Jeśli zgarniesz na sito wiele liczb na raz, czy ta prosta będzie błyszczała wśród nich jak samorodek złota? Niektórzy tak myślą. Na przykład liczby kończące się na 1 są często pożądaną liczbą, na przykład 11, 31, 41. Należy jednak uważać, aby nie pomylić fałszywego złota z czystym złotem, na przykład 21 lub 81. rosną, ten na końcu coraz bardziej nas wprowadza w błąd. Można nawet odnieść wrażenie, że liczby pierwsze w końcu po prostu znikają, jak wierzyli niektórzy starożytni Grecy.

b) Zestawienie tabel metodą „Sita Eratostenesa”

a) Sito Eratostenesa, jako teoretyczna metoda badawcza w teorii liczb, zostało wprowadzone w 1920 r. przez norweskiego matematyka W. Bruna. Korzystając z tej metody, naukowcy skompilowali tabele liczb pierwszych od 1 do 12 000 000.

Prawdziwym bohaterem w zestawieniu tablicy liczb pierwszych jest profesor Uniwersytetu Czeskiego w Pradze Jakub Filip Kulik (1793-1863).

On, nie mając pojęcia o wydrukowaniu swojej pracy, ułożył tabelę dzielników liczb pierwsze sto milionów, a dokładniej liczby do 100 320 201, i umieścił go w bibliotece Wiedeńskiej Akademii Nauk do użytku przez osoby pracujące w tej dziedzinie.

Na lekcjach matematyki korzystamy z tabeli podanej na wyklejce podręcznika w granicach 1000.

c) Tabele obliczeniowe

Wprowadzenie technologii komputerowej do matematyki teoretycznej i stosowanej znacznie ułatwiło rozwiązywanie problemów związanych z czasochłonnymi obliczeniami.

Możliwe jest przechowywanie danych tabelarycznych o dowolnej wielkości w pamięci dość złożonych komputerów, ale kalkulatory do indywidualnego użytku nie mają jeszcze takich możliwości. Dlatego matematycy nadal pracują nad problemami kompilacji zwartych i wygodnych tabel, przeznaczonych w szczególności do analizy liczb.

Wykorzystanie do tego celu komputerów umożliwiło wykonanie bardzo znaczącego kroku naprzód. Na przykład nowoczesna tablica liczb, do zestawienia której wykorzystano technologię komputerową, obejmuje liczby do 10 000 000... To dość obszerna książka.

W praktyce, zamiast otrzymać listę liczb pierwszych, często chcesz sprawdzić, czy dana liczba jest liczbą pierwszą. Algorytmy rozwiązujące ten problem nazywają się .

Wykorzystanie wyspecjalizowanych algorytmów do wyznaczania liczby pierwszej (czy jest to liczba pierwsza?) Umożliwia wyszukiwanie liczby pierwszej w określonym zakresie liczb naturalnych.

e) Odkrycie stulecia - prawo liczb pierwszych

Nawet w starożytności naukowcy byli zainteresowani pytaniem, jakie prawo służy do układania liczb pierwszych w naturalnym rzędzie. Rosyjski Pitagoras – Władimir Chrenow – zszokowany odkryciem prawa liczb pierwszych świat nauki... To prawo nie tylko przywraca matematykę na właściwe tory, ale także wyjaśnia wiele praw natury w kategoriach prawdziwa wiedzaświat.rosyjski geniusz,Władimir Chrenowdokonał odkrycia naukowego , co wywraca dotychczasowe pojęcie czasu i przestrzeni , Coliczby pierwsze to nie chaos.

Liczby pierwsze uzyskuje się ze wzoru: „6X plus lub minus 1”, gdzie X jest dowolną liczbą naturalną.

13=6 *2-1; 13=6 *2-1; 19=6 *3+1; 31=6 *5+1;

Odkrycia dokonano 30 kwietnia 2000 roku. Była to jubileuszowa Wielkanoc Zmartwychwstania Chrystusa. Znacząca data. W tym dniu ujawniono prawdziwy model rzeczywistej przestrzeni i czasu. 7 stycznia 2001 r. opisano prawo liczb pierwszych, a wraz z nim prawa rządzące tworzeniem wszystkich liczb naturalnych. Tak więc po odkryciu prawa liczb pierwszych stało się jasne, że edinica - standard przestrzeni,sześć - standard czasu, a łącznie dwa standardy przestrzeni i czasu tworzą całą różnorodność natury i są wieczną podstawową przyczyną wszystkiego. Teraz, po odkryciu prawa liczb pierwszych, stało się jasne, że stanowią one naukową podstawę magii liczby 7.Prawo to ma nie tylko kolosalny światopogląd, ale pozwala tworzyć oparte na tej teorii technologie ochrony informacji nowej generacji. Aby utworzyć nową, potrzebujesz nowej liczby pierwszej. Dlatego matematycy, którzy to odkryli, otrzymują tak ogromne sumy.

ZASTOSOWANIE TEORII LICZB PIERWSZYCH

Chociaż od Euklidesa minęło ponad dwa tysiące lat, do jego teorii nie dodano nic nowego. Liczby pierwsze w naturalnym rzędzie są ułożone niezwykle kapryśnie. Jednak jest ogromna liczba zagadek związanych z liczbami pierwszymi.

Wielkie zasługi w badaniu liczb pierwszych należą do matematyków rosyjskich i radzieckich. Interesowały mnie proste, a zarazem zaskakujące stwierdzenia, które w tej dziedzinie udowodnili znani radzieccy naukowcy. Przebadałem je i podałem szereg przykładów potwierdzających prawdziwość twierdzeń.

P.L Czebyszew (1821-1894) udowodnione że między dowolną liczbą naturalną większą od 1 a liczbą dwukrotnie większą od podanej zawsze jest co najmniej jedna liczba pierwsza.

Rozważ następujące pary liczb pierwszych, które spełniają ten warunek.

Przykłady:

a 4 jest liczbą pierwszą 3.

a 6 to liczba pierwsza 5.

10 i 20 to liczby pierwsze 11; 13; 17; 19.
5 i 10 to liczba pierwsza 7.

7 i 14 to liczby pierwsze 11; 13.

11 i 22 to liczby pierwsze 13; 17; 19.

Wyjście: rzeczywiście, pomiędzy dowolną liczbą naturalną większą od 1 a liczbą podwojoną podaną jest co najmniej jedna liczba pierwsza.

Christianie Goldbuck, członek Petersburskiej Akademii Nauk prawie 250 lat temu złożył wniosek, że każda liczba nieparzysta większa niż 5 może być reprezentowana jako suma trzech liczb pierwszych.

Przykłady:

21 = 3 + 7 + 11,

37 = 17 + 13 + 7,

23= 5 + 7 + 11,

29= 11 + 13 + 5,

Winogradow IM. (1891-1983), Radziecki matematyk udowodnił tę propozycję dopiero 200 lat później.

7 = 2 + 2 + 3, 15 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5,

9 = 3+3 + 3, 20 = 7 + 11 + 2.

Ale stwierdzenie « Każda nawet czysta, większa niż 2, może być reprezentowana jako suma dwóch liczb pierwszych » wciąż nie udowodniono .

Przykłady:

28= 11 + 17, 924 = 311 + 613,

56= 19 + 37, 102 = 59 + 43.

2.2 Przykłady wielu problemów w teorii liczb pierwszych.

Problem braku regularności w rozmieszczeniu liczb pierwszych zajmował umysły ludzkości od czasów starożytnych matematyków greckich. Dzięki Euclidowi wiemy, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Erastofen, Sundaram zaproponował pierwsze algorytmy do testowania liczb pod kątem uproszczenia. Euler, Fermat, Legendre i wielu innych znanych matematyków próbowało i wciąż próbuje rozwiązać zagadkę liczb pierwszych. Do tej pory znaleziono i zaproponowano wiele eleganckich algorytmów i wzorców, ale wszystkie mają zastosowanie tylko do skończonej serii liczb pierwszych lub liczb pierwszych specjalnego rodzaju. Dowodem jest czołowa przewaga nauki w badaniu liczb pierwszych w nieskończoności... ona wchodzi , za dowód lub obalenie, którego Instytut Matematyczny Clay zaproponował nagrodę w wysokości 1 000 000 USD.

Najbardziej znane problemy z liczbami pierwszymi zostały wymienione na piątym. Dziś naukowcy mówią o 23 problemach.

Byłem w stanie rozważyć 4 z nich, podać kilka przykładów dla każdego problemu.

Pierwszy problem Landaua (problem Goldbacha):

udowodnić lub obalić:

Każda liczba parzysta większa niż dwa może być reprezentowana jako suma dwóch liczb pierwszych, a każda liczba nieparzysta większa niż 5 może być reprezentowana jako suma trzech liczb pierwszych.

Przykłady :

8 = 3+5,

12 = 5+7,

16=13 +3, 17= 11+3+3,

24=19+5, 21=11+7+3

50 = 13+37

Drugi problem Landaua (problem Goldbacha):

Czy istnieje nieskończony zbiór „prostych bliźniaków” – liczb pierwszych, których różnica wynosi 2?

a) Określono następujące liczby „bliźniaki”:

3 i 5; 5 i 7; 7 i 9; 11 i 13, 17 i 19; 41 i 43;

b). Pary bliźniaków składają się z bliźniąt ze wspólnym elementem. Udało mi się znaleźć następujące pary bliźniaków - "podwójne"

Rozwiązanie:

(3, 5) i (5, 7);

Wiadomo, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Ale oczywiście nikt nie wie, ani nieskończenie wiele par bliźniąt.

Trzeci problem Landaua (hipoteza)

czy to prawda, że między liczbami postacin2 i (n + 1) 2czy zawsze istnieje liczba pierwsza? (n jest liczbą nieparzystą)

Rozwiązanie:

a) w n = 3, otrzymujemy 6 i 8, między nimi liczbę pierwszą 7.

nietoperz n = 5, otrzymujemy 10 i 12, między nimi liczbę pierwszą 11.

Kot n = 9, otrzymujemy 18 i 20, między nimi liczbę pierwszą 19.

4. Czwarty problem Landaua:

Czy istnieje nieskończony zbiór liczb pierwszych postaci? n2 + 1?

Rozwiązanie:

w n = 1, to mamy 3; dla n = 2, to mamy 5; dla n = 3, to mamy 7

w n = 5, to mamy 11, dla n = 6 mamy 13; dla n = 8, to mamy 17 itd.

2.3. Zastosowane zadania

Cel 1. Z sitem Eratostenesaokreślić ile liczb pierwszychwaha się od 1 do 100.

Rozwiązanie:

Aby to zrobić, wypisz wszystkie liczby od 1 do 100 są mało prawdopodobne. ...

Wykreślimy liczby, które nie są pierwsze. Wykreśl 1, ponieważ nie jest to liczba pierwsza. Pierwsza liczba pierwsza to 2.

Podkreślmy to i wykreślmy wszystkie liczby, które są wielokrotnościami 2, czyli liczby 4, 6, 8 ... 100. Następna liczba pierwsza to 3. Podkreślmy to i wykreślmy liczby będące wielokrotnościami 3, które nie zostały przekreślone, czyli cyfry 9? 15, 21 ... 99. Następnie podkreślamy liczbę pierwszą 5 i wykreślamy wszystkie wielokrotności 5. Liczby 25 ... 95. I tak dalej, aż pojawi się jedna liczba pierwsza 97.

Wyjście:Od 1 do 100 to 25liczby pierwsze, czyli liczby 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41,43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97. (Załącznik 1)

Cel 2. Aby otrzymać listę liczb pierwszych, mniejszych niż 1000, musisz „odsiać” liczby, które są podzielne przez 2, 3, 5, 7, 11… Na jakiej liczbie możesz się zatrzymać?

Rozwiązanie:

Stosując metodę Eratostenesa przeprowadziłem podobną

praca nad przesiewaniem liczb złożonych do 1000.

Wyjście: aby uzyskać liczby pierwsze do 1000, możesz zatrzymać się na 31 (wykreśl liczby, które są wielokrotnościami 31). (Załącznik 2)

2.4 Problemy stosowania praw liczb pierwszych

Zadanie 3. Jak za pomocą dwóch sprawdzeń pokazać, że liczba 19 jest liczbą pierwszą?

Rozwiązanie przedstawiono w Dodatek 3.

Zadanie 4. Jak za pomocą trzech sprawdzeń pokazać, że liczba 47 jest liczbą pierwszą?

Rozwiązanie przedstawiono w Dodatek 4.

2.5 Magiczne kwadraty.

Wiele ciekawych matematycznych problemów jest poświęconych liczbom pierwszym w wykorzystaniu macierzy kwadratowych - magicznych kwadratów, w których suma elementów w dowolnym rzędzie, dowolnej kolumnie i dwóch głównych przekątnych daje tę samą liczbę.

Pierwszy z nich został wymyślony przez Henry'ego Ernesta Dewdneya, znanego angielskiego eksperta od puzzli.

Czy istnieją magiczne kwadraty z samymi liczbami pierwszymi? Okazuje się, że tak.

Studiowałem magiczne kwadraty 3 x 3, 4 x 4, 6 x 6. Określiłem sumę wzdłuż każdego rzędu, każdej kolumny i każdej głównej przekątnej każdego z tych kwadratów. Rozwiązanie przedstawiono w Załącznik 5.

wzdłuż każdego rzędu, każdej kolumny i każdej głównej przekątnej. Podaję przykłady kwadratów, z macierzą 3x3, 4x4, 6x6.

Wyjście:

1.Magiczny kwadrat 1 3x3 ma w sumie 111 (nawiasem mówiąc, też nie jest liczbą pierwszą)

2. Czy magiczny kwadrat 2 z 4x4 ma sumę?

3. Czy magiczny kwadrat 3 z sumy 6x6?

3.4. Zastosowanie prawa liczb pierwszych w różnych dziedzinach.

Liczby pierwsze są nie tylko przedmiotem wnikliwej analizy matematyków na całym świecie, ale od dawna są z powodzeniem wykorzystywane do zestawiania różnych ciągów liczb, co jest podstawą, w tym do szyfrowania.Znajomość przepisów umożliwiła uzyskanie takich opatentowanych rozwiązań technicznych służących do ochrony transmisji informacji, które na dotychczasowych podstawach matematycznych uznano za po prostu niemożliwe. Do tworzenia szyfrów potrzebne są liczby pierwsze. Wcześniej czy później każdy szyfr zostaje odtajniony.

Tutaj naukowcy zwracają się do jednego z najważniejszych działów informatyka - do kryptografii. Skoro tak trudno jest znaleźć kolejną liczbę pierwszą, to gdzie i dlaczego można te liczby wykorzystać w praktyce?” Najczęstszym przypadkiem użycia liczb pierwszych jest kryptografia (szyfrowanie danych). Najbezpieczniejsze i najtrudniejsze do rozszyfrowania metody kryptograficzne opierają się na wykorzystaniu liczb pierwszych składających się z ponad trzystu cyfr.

Próbowałem zilustrować problem, z jakim boryka się deszyfrator podczas odszyfrowywania określonego hasła. Załóżmy, że hasło jest jednym z dzielników liczby złożonej, a osoba działa jako dekoder. Weźmy liczbę z pierwszej dziesiątki, na przykład 8. Każda (mam nadzieję) osoba jest w stanie mentalnie rozłożyć liczbę 8 na czynniki pierwsze - 8 = 2 * 2 * 2. Skomplikujmy zadanie: weź liczbę z pierwszej setki, na przykład 111. W tym przypadku 111 zostanie szybko uwzględniona w umyśle przez osoby, które znają znaki podzielności liczby przez 3 (jeśli suma cyfr liczby jest wielokrotnością 3, wtedy ta liczba jest podzielna przez 3), i rzeczywiście - 111 = 3 * 37. Aby skomplikować zadanie, weźmy liczbę z pierwszego tysiąca, na przykład 1207. Osoba (bez użycia obróbki maszynowej) będzie potrzebowała przynajmniej papieru i długopisu, aby spróbować podzielić 1207 przez „wszystkie” liczby pierwsze poprzedzające tę liczbę. I dopiero po przejściu sekwencyjnego dzielenia 1207 przez wszystkie liczby pierwsze od 2 do 17 osób, w końcu otrzymamy drugi dzielnik tej liczby - 71. Jednak 71 należy również sprawdzić pod kątem prostoty.

Staje się jasne, że wraz ze wzrostem liczby cyfr, na przykład pięciocyfrowa liczba - 10001, dekompozycja (w naszym przykładzie odszyfrowanie hasła) bez przetwarzania maszynowego zajmie dużo czasu. Nowoczesna scena Rozwój technologii komputerowej (dostępnej dla przeciętnego użytkownika) pozwala na rozłożenie liczb składających się z sześćdziesięciu cyfr na czynniki w ciągu kilku sekund.

Pomyśl, ile żyć musi przeżyć człowiek, aby rozłożyć daną liczbę na czynniki pierwsze bez pomocy maszyn!

Tylko dziś ! To z ich pomocą naukowcy znajdują coraz więcej,, liczby pierwsze.

Dowiedziałem się, że znajomość otwartych praw pozwoli na tworzenie jakościowo nowych rozwiązań w następujących obszarach:

Super bezpieczny system operacyjny dla banków i korporacji.

System do zwalczania podrobionych produktów i fałszywych banknotów.

Zdalna identyfikacja i system antykradzieżowy.

System do zwalczania rozprzestrzeniania się wirusów komputerowych.

Komputery nowej generacji na nieliniowym systemie liczbowym przyrody.

Matematyczne i biologiczne uzasadnienie teorii harmonii percepcji.

Aparatura matematyczna do nanotechnologii.

WNIOSEK.

W trakcie pracy nad tym tematem mogłem poszerzyć swoje rozumienie liczb pierwszych w następujących kierunkach:

studiował interesujące aspekty rozwoju teorii liczb pierwszych, zapoznawał się z dostępnymi dla mojego zrozumienia nowymi osiągnięciami naukowców w tej dziedzinie i ich praktycznym zastosowaniem,

stworzył ogólny pomysł, jak znaleźć liczby pierwsze, opanował zasadę oddzielania liczb pierwszych od szeregu naturalnego metodą „Sita Eratostenesa” do 100; 1000,

studiował zastosowanie teorii liczb pierwszych w problemach,

zapoznał się z zastosowaniem teorii liczb pierwszych w różnych dziedzinach.

W trakcie pisania pracy udało mi się opanować dwa sposoby na uzyskanie szeregu liczb pierwszych:

praktyczny sposób - przesiewanie (sito Eratostenesa),

sposób analityczny - praca ze wzorem (prawo liczb pierwszych).

W ramach badania:

niezależnie zweryfikowałem szereg zdań matematycznych przez podstawienie wartości, po uzyskaniu poprawnych wyrażeń matematycznych,

zidentyfikował szereg liczb „Podwójne” i „Bliźniaki”,

opracował szereg wyrażeń liczbowych wskazanych w problemach Landaua,

sprawdziłem czy kwadraty z macierzą 3x3, 4x4, 6x6 są magiczne,

rozwiązał dwa problemy na dwa sposoby, stosując prawo liczb pierwszych i twierdzeń.

W trakcie pracy nad tematem upewniłem się, że liczby pierwsze pozostają istotami, zawsze gotowymi do wymykania się badaczowi. Liczby pierwsze są „surowcem”, z którego tworzona jest arytmetyka i że istnieje nieograniczona podaż tego materiału.

Zainteresowałem się specjalistami w dziedzinie kryptografii, którzy są ostatnio poszukiwani w tajnych organizacjach. To oni znajdują coraz więcej dużych liczb pierwszych, aby stale aktualizować listę możliwych kluczy i próbować identyfikować coraz więcej nowych wzorców w rozmieszczeniu liczb pierwszych. Liczby pierwsze i kryptografia to mój kolejny temat w badaniu teorii liczb pierwszych.

Wierzę, że to działa mogą być wykorzystywane na zajęciach pozalekcyjnych, na zajęciach fakultatywnych dla uczniów klas 6-7, jako dodatkowy materiał do lekcji matematyki w klasie 6 podczas przygotowywania wiadomości na ten temat. Temat badań jest bardzo ciekawy, aktualny, nie ma granic w nauce i powinien wzbudzać duże zainteresowanie wśród studentów.

Lista bibliograficzna

//. - 1975. - nr 5. - S. 5-13.

N. Karpuszyn. //. - 2010r. - nr 5.

Enrique Gracian - "Liczby pierwsze. Długa droga do nieskończoności" seria "Świat matematyki" tom 3 De Agostini 148c, 2014

Rozkład liczb naturalnych na iloczyny liczb pierwszych

Algorytmy wyszukiwania i rozpoznawania liczb pierwszych

Proste sposoby znalezienia początkowej listy liczb pierwszych do pewnej wartości są podane przez sito Eratostenesa, sito Sundarama i sito Atkina.

Jednak w praktyce, zamiast otrzymać listę liczb pierwszych, często konieczne jest sprawdzenie, czy dana liczba jest liczbą pierwszą. Algorytmy rozwiązujące ten problem nazywane są testami prostoty. Istnieje wiele testów prostoty wielomianów, ale większość z nich ma charakter probabilistyczny (np. test Millera-Rabina) i jest wykorzystywana na potrzeby kryptografii. W 2002 roku udowodniono, że problem sprawdzania prostoty w postaci ogólnej jest rozwiązywalny wielomianowo, ale proponowany deterministyczny test Agrawala – Kayala – Saxena ma dość dużą złożoność obliczeniową, co komplikuje jego praktyczne zastosowanie.

Dla niektórych klas liczb istnieją wyspecjalizowane efektywne testy prostoty (patrz poniżej).

Nieskończoność liczb pierwszych

Istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych. Najstarszy znany dowód tego faktu został podany przez Euklidesa w Elementach (Księga IX, Stwierdzenie 20). Jego dowód można podsumować następująco:

Matematycy przedstawili inne dowody. Jeden z nich (podany przez Eulera) pokazuje, że suma wielkości jest odwrotna do pierwszego n liczby pierwsze, rośnie w nieskończoność wraz ze wzrostem n.

Liczby Mersenne'a wypadają korzystnie w porównaniu z innymi dzięki obecności skutecznego testu prostoty: testu Lucasa - Lemaire'a. Dzięki niemu liczby pierwsze Mersenne'a od dawna utrzymują rekord jako największe znane liczby pierwsze.

Za znalezienie liczb pierwszych z ponad 100 000 000 i 1 000 000 000 cyfr dziesiętnych EFF przyznał nagrody pieniężne w wysokości odpowiednio 150 000 USD i 250 000 USD. EFF już wcześniej przyznał nagrody za znalezienie liczb pierwszych o 1 000 000 i 10 000 000 cyfr dziesiętnych.

Specjalne liczby pierwsze

Istnieje szereg liczb, których prostotę można skutecznie ustalić za pomocą wyspecjalizowanych algorytmów.

Korzystanie z testu Brillharta-Lehmera-Selfridge ( język angielski) można sprawdzić prostotę następujących liczb:

Aby wyszukać liczby pierwsze wskazanych typów, projekty obliczeń rozproszonych GIMPS, PrimeGrid, [e-mail chroniony], Siedemnaście lub Biust, Sito Riesela, [e-mail chroniony]

Niektóre właściwości

Jeśli jest liczbą pierwszą i dzieli, to dzieli lub. Dowód tego faktu dał Euklides i jest znany jako lemat Euklidesa. Jest używany w dowodzie głównego twierdzenia arytmetyki.
Pierścień pozostałości jest polem wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą pierwszą.
Cechą każdego pola jest zero lub liczba pierwsza.
Jeśli - liczba pierwsza i - naturalna, to dzieli się przez (małe twierdzenie Fermata).
Jeśli jest skończoną grupą z elementami, to zawiera element porządku.
Jeśli jest grupą skończoną i ma maksymalny stopień, który dzieli, to ma podgrupę rzędu zwaną podgrupą Sylowa, ponadto liczba podgrup Sylowa jest równa dla pewnej liczby całkowitej (twierdzenie Sylowa).
Naturalny jest prosty wtedy i tylko wtedy, gdy jest podzielny przez (twierdzenie Wilsona).
Jeśli - naturalny, to jest prosty, taki, że (postulat Bertranda).
Szereg liczb, które są odwrotne do liczb pierwszych, są rozbieżne. Co więcej, dla
Każdy ciąg arytmetyczny postaci, gdzie są liczbami całkowitymi względnie pierwszymi, zawiera nieskończenie wiele liczb pierwszych (twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągu arytmetycznym).
Każda liczba pierwsza większa niż 3 może być reprezentowana jako lub, gdzie jest jakaś liczba naturalna. Jeśli więc różnica między kilkoma kolejnymi liczbami pierwszymi (dla k>1) jest taka sama, to z konieczności jest to wielokrotność 6 - na przykład: 251-257-263-269; 199-211-223; 20183-20201-20219.
Jeśli - liczba pierwsza, to wielokrotność 24 (również dla wszystkich liczb nieparzystych, które nie są podzielne przez 3).
Twierdzenie Greena-Tao. Istnieją arbitralnie długie, skończone ciągi arytmetyczne składające się z liczb pierwszych.
n>2, k> 1. Innymi słowy, liczba następująca po liczbie pierwszej nie może być kwadratem ani wyższym stopniem o podstawie większej niż 2. Wynika z tego również, że jeśli liczba pierwsza ma postać, to k- liczba pierwsza (patrz liczby Mersenne'a).
Żadna liczba pierwsza nie może mieć postaci, gdzie n>1, k> 0. Innymi słowy, liczba poprzedzająca liczbę pierwszą nie może być sześcianem ani wyższą nieparzystą potęgą o podstawie większej niż 1.

zawierający 26 zmiennych i mający stopień 25. Najmniejszy stopień dla znanych wielomianów tego typu wynosi 5 dla 42 zmiennych; najmniejsza liczba zmiennych wynosi 10 dla stopnia około 15905. Ten wynik jest szczególnym przypadkiem własności diofantycznej dowolnego przeliczalnego zbioru udowodnionego przez Jurija Matiyasevicha.

Otwarte pytania

Rozkład liczb pierwszych P n = F (Δ s n); Δ s n = P n+1 ² - P n ². Δ P n = P n+1 - P n ; Δ P n = 2, 4, 6, … .

Nadal istnieje wiele otwartych pytań dotyczących liczb pierwszych, z których najsłynniejsze wymienił Edmund Landau na V Międzynarodowym Kongresie Matematyki:

Otwartym problemem jest również istnienie nieskończonej liczby liczb pierwszych w wielu ciągach całkowitych, w tym liczbach Fibonacciego, liczbach Fermata itp.

Aplikacje

Wariacje i uogólnienia

W teorii pierścieni definiuje się fragment algebry abstrakcyjnej, pojęcie elementu prostego i ideału prostego.
W teorii węzłów pojęcie prostego węzła ( język angielski) jako nietrywialny węzeł, którego nie można przedstawić jako połączonej sumy nietrywialnych węzłów.

Zobacz też

Notatki (edytuj)

Literatura

Halperin G."Tylko o liczbach pierwszych" // Kwant... - nr 4. - S. 9-14.38.
Yu.V. Nesterenko Algorytmiczne problemy teorii liczb // Wprowadzenie do kryptografii / Pod redakcją V.V. Yashchenko. - Piotr, 2001 .-- 288 s. - ISBN 5-318-00443-1
Wasilenko O. N. Algorytmy teorii liczb w kryptografii. - M .: MTsNMO, 2003 .-- 328 s. - ISBN 5-94057-103-4
A. V. Cheryomushkin... - Moskwa: MTsNMO, 2002 .-- 104 s. - ISBN 5-94057-060-7
Knop K.„W pogoni za prostotą”
BA Kordemski Zręczność matematyczna. - M .: GIFML, 1958 .-- 576 s.
Henry S. Warren, Jr. Rozdział 16. Wzory na liczby pierwsze // Sztuczki algorytmiczne dla programistów = Hacker "s Delight. - M .:" Williams ", 2007. - 288 s. - ISBN 0-201-91465-4
Yu Matiyasevich. Wzory na liczby pierwsze // Kwant... - 1975. - nr 5. - S. 5-13.
N. Karpuszyn. Palindromy i „flip-flops” wśród liczb pierwszych // Nauka i życie. - 2010. - № 5.
D. Tsagera. Pierwsze 50 milionów liczb pierwszych // Postępy w naukach matematycznych... - 1984. - T. 39. - nr 6 (240). - S. 175-190.

Spinki do mankietów

The Prime Pages - baza danych największych znanych liczb pierwszych
Listy pierwsze PrimeGrid — wszystkie liczby pierwsze znalezione w projekcie PrimeGrid
Geometria liczb pierwszych i doskonałych (hiszpański)

Systemy liczbowe
Rachunkowość tłumy	Liczby naturalne () Liczby całkowite () Wymierne () Algebraiczne () Okresy Obliczalne Arytmetyka
Liczby rzeczywiste i ich rozszerzenia	Rzeczywiste () Złożone () Kwaterniony ()

Dom » Encyklopedia » Liczby pierwsze to ciekawe fakty. Liczby pierwsze w przyrodzie i ich wykorzystanie przez ludzi